Βάζετε το νερό να πάρει βράση σε μια κατσαρόλα και μόλις κοχλάσει, ρίχνετε τον τραχανά. Αφήνετε 2-3 λεπτά, ανακατεύοντας και χαμηλώνετε πολύ τη φωτιά. Σκεπάζετε με καπάκι και αφήνετε να φουσκώσει, για περίπου 6-7 λεπτά. Δοκιμάζετε, ο τραχανάς πρέπει να έχει φουσκώσει αλλά να «κρατάει λίγο στο δόντι».

Στραγγίζετε όσο νερό (αν) περισσεύει και μεταφέρετε τον τραχανά σε μεγάλο μπολ. Ανακατεύετε με το βούτυρο και προσθέτετε τη φέτα, την πιπεριά, το αβγό χτυπημένο, την πάπρικα και αλατοπιπερώνετε με προσοχή γιατί η φέτα έχει αρκετό αλάτι. Ανακατεύετε καλά και αφήνετε τη γέμιση στην άκρη.

Απλώνετε ένα φύλλο στον πάγκο και σκεπάζετε τα υπόλοιπα με πετσέτα να μην ξεραθούν. Κόβετε το φύλλο σε 4 λωρίδες, τις αλείφετε με βούτυρο και τοποθετείτε μία λωρίδα πάνω στη δεύτερη και την τρίτη πάνω στην τέταρτη, ώστε να έχετε δύο διπλές λωρίδες.

Βάζετε 1 κουτ. σούπας από το μίγμα τραχανά στην άκρη κάθε λωρίδας και τυλίγετε σε ρολά, διπλώνοντας ταυτόχρονα και τα πλαϊνά προς τα μέσα, ώστε να μη φεύγει η γέμιση. Συνεχίζετε με τα υπόλοιπα φύλλα και τοποθετείτε τις φλογέρες σε ταψί στρωμένο με αντικολλητικό χαρτί ψησίματος, ελαφρά βουτυρωμένο.

Προθερμαίνετε το φούρνο στους 180οC, στον αέρα. Αλείφετε με βούτυρο την επιφάνεια κάθε φλογέρας και πασπαλίζετε προαιρετικά με μαύρο σουσάμι. Ψήνετε στο φούρνο για 30 λεπτά ή μέχρι να ροδίσουν.

Για το ντιπ: Βάζετε όλα τα υλικά στο μπλέντερ και χτυπάτε να ομογενοποιηθούν. Μεταφέρετε σε μπολ.

Σερβίρετε τις φλογέρες συνοδεύοντας με το ντοματένιο ντιπ.